Intervalle de Confiance

Bonjour à tous, une classe de première S (autre que la mienne) m'a demandé de faire un algo, or je n'ai pas encore fait la leçon et sur le net y'a pas grand chose...

Voici les consignes données lors de leur contrôle.
e) Montrer que P(2≤X≤5)≈0,65
L'intervalle [2;5] s'appelle intervalle de confiance à 65% de X.

f) Écrire un algorithme qui demande deux valeurs α et β afin d'afficher P(α≤X≤β).

Avis aux experts, merci. (Franchement, j'attends vraiment la correction de leur prof...)

Bonjour,
Pour calculer une probabilité il faut qu'on sache de quelle loi de probabilité il s'agit (sûrement binomiale s'il s'agit d'une 1ere S).
Après il s'agit juste d'utiliser la fonction correspondante de la calto, c'est rapide à faire.

Certes les 82stats et postérieures ont des fonctions intégrées. La TI82 n'en a pas. On peut calculer soi-même pour des lois de probabilités qui ne soient pas prévues.

Dans tout les cas tu as besoin de la loi de probabilité de l'exercice.

On défini la probabilité qu'une variable aléatoire soit dans un intervalle. Cette probabilité se calcule en connaissant la loi de probabilité de la variable. Cette loi est souvent une formule mathématique permettant de calculer directement le résultat.

Avec la loi binomiale qui est discrète (des valeurs distinctes), on calcule la somme des probabilités de chaque état de l'intervalle donné.
P(A<=X<=B)=P(X=A)+P(X=A+1)+...+P(B)
Et on joue aussi avec P(A<=X)=1-P(X<A)
La loi binomiale de paramètres (N,P)=(nombre de tirages total, probabilité favorable) qui controle la variable aléatoire X du nombre de résultats vrai donne

Code:

P(X=A)=(N_Combinaisons_A)*P^A*(1-P)^(N-A)

edit : le A manquait après "combinaisons"

Avec les lois continues, on connait souvent la densité f(t) et on calcule la répartition F(t) par une intégrale de f(t) et enfin on connait une probabilité.
P(X<=A)=intégrale(K,-infini,A,f(t)dt)=F(A)
Par ailleurs on se base sur les intégrales et utilise P(A<=X)=1-P(XP(A<=X<=B)=P(X<=B)-P(X<=A)
Je rappelle aussi qu'avec une loi continue P(X=A)=0

Le calcul de ces intégrales est un autre problème. On se contentera d'utiliser la fonction dédiée de la calculatrice pour approcher ou une formule littérale si elle existe.

L'intervalle de confiance est un intervalle de définition de la variable aléatoire X auquel est associé la probabilité mentionnée dans la définition de cet intervalle.
Et avec certaines lois il suffit de connaître les paramètres pour situer directement l'intervalle.

Cherche la courbe de densité de la loi normale et ses intervalles de confiance, tu verras immédiatement le principe.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Boxplot_vs_PDF.svg
Par exemple la loi normale a un intervalle de confiance à 50% qui est toujours autour de la moyenne plus ou moins 0.67*sigma (sigma est l'ecart-type).

D'accord très bonne leçon ! Mais c'est surtout l'algo qui m'intéresse...

Mais on ne peut pas te donner l'algo sans connaitre la loi de probabilité dont il est question...

Nous t'avons déjà dit deux fois que nous ne pouvons rien faire sans connaître la loi de probabilité de l'exercice. Demande à ton camarade le début de l'énoncé de l'exercice.

Ton problème est un calcul de probabilité continue et tu n'as pas besoin de connaître les intervalles de confiance. Il est bien tard pour m'en apercevoir.

Je suppose que la machine programmée connaisse naturellement une fonction F:A->F(A) qui sera la fonction de répartition de la loi de probabilité. Voici un algorithme respectant cette hypothèse.

Code:

Initialisation
A,B,C,D,P des nombres
Début
Lire A
Lire B
C := F(A)        //= P(X<A)
D := F(B)        //= P(X<B)
P := D-C        //= P(X<B)-P(X<A) = P(A<X<B)
Ecrire P
Fin

Je pense que c'est ça... Mais voici l'énoncé.

EDIT: En effet, mon camarade vient de me préciser qu'il s'agissait de la loi binomiale...

Dis moi c'est un prof qui a fait cet exo?   

énoncé a écrit:Un robot se trouve en C est entame sont parcours.

Bon du coup pour l'algo je suppose que A et B (respectivement α et β) sont des entiers.
(Compatible ti 82:)

Code:

Prompt A,B
20->N
1/9->P
0->R
For(K,A,B
R+(N Combinaisons K)*P^K*(1-P)^(N-K)->R //S'optimise différemment selon le modèle
End
Disp R

On peux aussi rajouter Prompt N,P (à la place de leurs initialisations) au début pour permettre de s'adapter à la loi binomiale dont il est question.

Donc N est le nb d'effectifs, P la probabilité, R le résultat ?

Certes, tu optimises, mais mon camarade ne maîtrise absolument pas l'algorithmie, donc comment peux-t-on détailler la fonction "combinaisons" ?

(Et oui c'est bien leur prof de maths, j'avais également remarqué la faute...)

Justement je n'optimise pas :p
N Combinaison K = K parmis N, on peut certes la détailler avec des factorielles mais c'est au prgm de mpsi pas de lycée
C'est un truc qu'on apprend vaguement à quoi ça correspond en première, mais on le calcule comme ça avec la calto.

N = nombre de répétitions.
P = Probabilité de succès.
(N et P sont les paramètres de la loi binomiale)
R c'est le résultat (P(A<=X<=B)).
Pour obtenir R on fait la somme des P(X=K) pour K allant de A à B.
P(A<=X<=B) = P(X=A)+P(X=A+1)+...+P(X=B-1)+P(X=B)

J'ai fait le moins optimisé possible pour que ça reste compréhensible.

J'ai encore trop écrit précédemment puisque la formule et les sommes sont mentionnées dans mon message précédent mais que c'était caché.

Preuve que ce n'était pas optimisé.  

Code:

Prompt A,B
20->N
1/9->P
sum(seq((N_nCr_K)P^K(1-P)^(N-K),K,A,B

Vous pouvez enlever les parenthèses autour de nCr dès le modèle ti82stats (car nCr est évaluée avant les produits)
nCr=Combinaisons
sum()=somme()
seq()=suite()

Moi j'ai appris les combinaisons en terminales. (et j'ai trouvé seul en première) Pourquoi rejeter tout aux classes suppérieures ?

J'essayais justement d'éviter ce genre de méthode bourrin :p

J'avoue avoir cherché moi aussi en première comment calculer les combinaisons

Un peu HS donc bon...:

c'est bien gentil mais que fait la fonction "combinaison", quel est son rôle ? Quelles étapes exécutent-elle ?

Elle sert à calculer le coefficient binomial: http://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_binomial

Oui, je l'avais trouvé, mais est-il possible de détailler les étapes faites par cette fonction qui porte un rôle sur les variables N et K... ?

m@thieu41 :
je voulais justement chambrer pito qui jugeait ton code oprimisé :p. Je comprend bien ton but de décomposer la méthode.

--------
pito :
Est-ce vraiment important ? C'est une opération connue par le monde entier. Je développe le calcul des combinaisons.

EDIT 29/03/2014 21h : je remplace A par X dans tous mes codes.

Formule factorielle.

Code:

// N Combinaison K = "K parmi N"
Prompt N,K
Disp N!/(K!*(N-K)!)

Algorithme bouclé :

Code:

// N Combinaison K = "K parmi N"
Prompt N,K
1->C
For(X,N,N-K+1,-1 // calcule N*(N-1)*...*(N-K+1)=N!/(N-K)!
C*X->C
End
For(X,K,2,-1 // divise par K!=K*(K-1)*...*2*1
C/X->C
End
Disp C

Un peu d'optimisation

Code:

// N Combinaison K = "K parmi N"
1
For(X,N,N-K+1,-1
Ans*X  // le symbole "*" superflu
End
For(X,K,2,-1
Ans/X
End
Ans

Autre algorithme plus direct mais moins précis. Il calcule simultanément numérateur et dénominateur.

Code:

Prompt N,K
1
For(X,1,K
Ans*(N-K+X)/X   // calcule simultanément numérateur et dénominateur
End
Ans

J'averti que l'algorithme bouclé est plus performant que la formule factorielle à cause du plafond 10^100 et des 14 décimales rapidement atteints par les factorielles.
L'algorithme qui calcule simultanément numérateur et dénominateur apporte un danger d'arrondi puisque le numérateur est incomplet à l'avance et que les dénominateurs peuvent ne pas tomber juste.

EDIT : un symbole factoriel oublié ; mise en page accrue ; remplacement de nCr par Combinaison

non mais je ne vous demande pas de refaire tout l'algo, juste le reprendre et détailler la fonction combinaison

Distingue mon propos en retard envers m@thieu de ma réponse à ta question.

Je viens justement de détailler des calculs du coefficient binomial qui représente les dénombrements de combinaisons.
Toute la théorie est pointée par le lien de m@thieu41.
Par ailleurs tu devrais avoir assez de commentaires dans mes codes et autour. J'ai même ajouté deux introductions et remplacé nCr par du français.

Tu veux répéter la théorie sur les formules ?
Les combinaisons de P parmi N sont le nombre de sous-ensembles à P éléments qui existent dans un ensemble à N éléments.
Cela permet de différencier des résultats de tirages aléatoires sans tenir compte de l'ordre de tirage.
Je ne donnerai pas de démonstration.
Rappel de la formule factorielle : N!/(K!*(N-P)!)
Cette formule se simplifie : N! est divisé par (N-P)!.
N*(N-1)*...*(N-P+1)/P!
On se souvient de la formule simplifiée en disant qu'il y a P facteurs dans le numérateur.
Mes algorithmes utilisent cette dernière écriture pour ne pas calculer inutilement des facteurs qui se simplifient toujours.

Il ne te reste plus qu'à utiliser une des formules ou algorithmes de combinaison que je t'ai donné puis l'insérer dans le programme de probabilité.

Mais dans vos codes, il n'y a rien qui affiche P(a≤X≤b) ???

EDIT linkakro : je suis désolé mais j'ai foiré une édition du message avec ma connexion plantée et donc l'édition de pito a été perdue... encore désolé. Je voulais utiliser le code html des chevrons pour éviter le bug html.

J'ai un dm pour lundi sur la loi binomiale, et votre discussion me le rappelle douloureusement...

N combinaison K ou N nCr K ou
(N)
(K)

Se lit "K parmi N". En gros, c'est le nombre de possibilité de choisir N personnes parmi K. Des relations existent, mises en valeur par le triangle de pascal: N nCr K = N -1 nCr K + N - 1 nCr K - 1
Et également: N nCr K = N nCr N - K

Si tu veux la démonstration, on l'a faite en cours.

Wistaro a écrit:Si tu veux la démonstration, on l'a faite en cours.

Je dis pas non...

Démonstration N nCr K = N nCr (N - K)
N nCr K est le nombre de façon de choisir K personnes parmi N. Or, choisir K personnes parmi N revient à rejeter ( à ne pas choisir) N - K personnes parmi N

Demonstration N nCr K = (N -1) nCr K + (N - 1) nCr (K - 1):
On convient que N nCr K est le nombre de façon de choisir K personnes parmi N.
Considérons une personne particulière (machin);
1) Soit elle n'a pas été choisie (elle est exclue). Il reste alors (N - 1) nCr K façon de choisir les autres.
2) Soit elle a été choisie. Il reste alors (N - 1) nCr (K - 1) personnes à choisir.

Si on additionne les 2 cas possibles, on a bien: N nCr K = (N -1) nCr K + (N - 1) nCr (K - 1)

Voici les démonstrations "littéraires". Elles peuvent être démontrés avec des valeurs, mais ce n'est pas au programme


Comme je le disais, le triangle de Pascal est construit à l'aide de ces 2 propriétés et donne les valeurs de N nCr K en fonction de N et K

La formule des combinaisons. (pas les trois propriétés)
On tire au hasard sans remise K éléments parmi N. Dessine un arbre pour illustrer. A chaque tirage il y a un choix de moins. Donc on effectue un produit des nombres de choix qui diminuent à chaque tirage. Pour l'instant on a dénombré les Permutations : N*(N-1)*...*(N-K+1). Il y a les K facteurs des K tirages.
Le K éléments tirés peuvent l'avoir été dans des ordres différents, et le dénombrement des permutations ne différencie pas des tirages de même sous-ensemble. Par exemple ABC et BAC sont tous les deux comptés.
On étudie un tirage de K éléments parmi K et on arrive à la factorielle K! qui dénombre uniquement les différents ordres des éléments parmi eux-même.
On devine que Combinaisons*Ordres=Permutations
Donc Combinaisons=Permutation/Ordre. On remplace Permutation et Ordre, c'est terminé.
C=P/O=N*(N-1)*...*(N-K+1)/K!

Le triangle de pascal se fait tantôt avec la formule factorielle et tantôt avec un dénombrement d'ensembles. Wistaro a fait les ensembles, très bien. Et les deux propriétés de base, très bien aussi.

Je me lâche sur les factorielles pour traiter Pascal directement.
On va utiliser à plusieurs reprises (n+1)*n!=(n+1)!
(n,p)+(n,p+1)=n!/(p!*(n-p)!) + n!/((p+1)!*(n-p-1)!)
Je multiplie la gauche avec (p+1) et la droite avec (n-p) pour mettre au même dénominateur et factorise.
=( (p+1) + (n-p) )*n! /((p+1)!*(n-p)!)
=( n+1 )* n! /((p+1)!*(n-p)!)
=(n+1)!/((p+1)!*(n-p)!)
=(n+1,p+1)

La propriété du complément de K à N se fait aussi avec les factorielles, il suffit de mélanger les facteurs.
(n,k)=n!/(k!(n-k)!)=n!/((n-k)!k!)=n!/((n-k)!(n-(n-k))!)=(n,n-k)
Mais le raisonnement sur les ensembles est ici le meilleur.

Wistaro, je te prie de placer des parenthèses autour de N-K quand tu écris (N nCr (N-K)).

Je rajoute des parenthèses. Merci Linkakro, même si je pense que les factorielles ne sont pas au programme de 1ère S.

Voici le triangle de pascal:


NB: Je suis le seul à traiter les combinaisons au programme de 1ère S?

Mais je comprends rien... comment tu adaptes le code ? Je trouve 0 à chaque fois... Quel est le code complet et détaillé ?????

Pito: de quel code parle tu? On t'en a donné pas mal, et le mien est assez explicite normalement pour peu qu'on connaisse les bases de la programmation et des lois binomiales...

@Wistaro: J'ai moi aussi traité les combinaisons l'année dernière, mais de façon succincte. On a pas vu le triangle de Pascal par exemple, mais on a vu certaines formules qui ne nous ont jamais servi.

Et bien comment tu adaptes ce code de façon à ce qu'il n'y est pas la fonction combinaisons... ?

Code:

Prompt A,B
20->N
1/9->P
0->R
For(K,A,B
R+(N Combinaisons K)*P^K*(1-P)^(N-K)->R //S'optimise différemment selon le modèle
End
Disp R

Mais... pourquoi veut tu enlever la fonction combinaison?   

Je veux pas l'enlever je veux la DÉTAILLER...

Prends le code de m@thieu41 pour les probabilités. Puis insères un de mes calculs de combinaisons.
Adapte les variables pour éviter les conflits : ici il suffit suffisait de remplacer A par X.
EDIT : remarque périmée puisque j'ai modifié les codes en plaçant X au lieu de A.

Code:

Prompt A,B
20->N
1/9->P
0->R
For(K,A,B

// ici un calcul des combinaisons, que tu stockes dans C

N!/(K!*(N-K)!)->C

// un autre calcul possible, c'est ma première boucle de combinaisons

1->C
For(X,N-K+1,N // calcule N*(N-1)*...*(N-K+1)=N!/(N-K)!
C*X->C
End
For(X,2,K // divise par K!=K*(K-1)*...*2*1
C/X->C
End

// fin de mon calcul de combinaisons

R+C*P^K*(1-P)^(N-K)->R
End
Disp R

Comme tu sembles avoir des problèmes, je m'apprête à tester tous mes codes pour être sûr.