Problème de maths à contre-sens

Voilà, j'en ai parlé avec Linka, j'ai un problème de maths qui contient une sorte de contre-sens, donc je demande votre aide à tous pour pouvoir m'aider car même le forum ilemaths ne sait pas quoi dire...

Voici l'énoncé :

On considère la fonction f définie, pour tout réel x≠-1, par f(x)=(2x+3)/(x+1), et de courbe représentative Cf dans le repère orthogonal (O;i;j).

1) Vérifier que, pour tout x≠-1, on a f(x)= 2 + 1/(x+1)
2) Démontrer alors que Cf est l'image de l'hyperbole H d'équation y = 1/x par une translation que l'on déterminera (utiliser les résultats sur les fonctions associées, à partir de l'expression ci-dessus).
3) En déduire que Cf admet un centre de symétrie Ω, dont on donnera les coordonnées.
4) Retrouver le résultat précédent (au 3) en vérifiant que, pour tout réel h≠0, (f(-1-h)+f(-1+h))/2=2
(utiliser l'expression d'origine f(x))
Bien justifier la conclusion, en interprétant géométriquement ce calcul.

Voici mes réponses :
1) Pour tout x≠-1, on a :
   f(x)= 2 + 1/(x+1)
        = (2x+2+1)/(x+1)
        = (2x+3)/(x+1)

2) C'est ici qu'il y a contre-sens :
Mon raisonnement :
Je ne sais pas comment le démontrer mais je trouve f(x)=H(x+1) + 2

Le raisonnement de ilemaths :
L'équation de f(x) est y = 2 +1/(x + 1) ⇔ y - 2 =1/(x+1).
Prenons X = x + 1  et  Y = y - 2, ce qui donne Y=1/X.
On retrouve ici l'équation de H(x).

Pour passer de f(x) à H(x), on peut voir les translations suivantes :
On ajoute 1 à x,
On retranche 2 à Y.
On se retrouve donc avec l'égalité suivante :
f(x)=H(x+1)-2

Maintenant, si on fait une démonstration :
On prend x=2
f(x)=H(x+1) + 2 =1/(x+1)+2, ici on retrouve la question 1.
                     =1/2 ce qui est vrai.

f(x)=H(x+1) - 2 =1/(x+1)-2
                     =-1/2, or c'est faux, car il n'y pas de point à ces coordonnées.

Pour finir, je reviens à mon résonnement en montrant qu'on a démontré dans le 1 que :
f(x)=H(x+1)+2
    =1/(x+1)+2
    =(2x+3)/(x+1)

On retrouve bien le + 2

Mais pour la question suivante :
3) Si on imprime à un objet une translation de + 1, il prend une nouvelle position. Pour le ramener à sa position initiale, il faut lui imprimer une translation de  - 1 .
1 - 1 = 0.
Si on prend H(x) avec le - 2, ça donne :
En abscisse : X = x+1
En ordonnée : Y= y-2
Donc si X=Y=0, on a x=-1 et y=2 qui sont les coordonnées du centre de symétrie Ω de la courbe Cf. ← ce qui est vraie

Mais si on prend H(x) avec + 2 ← ça ne marche pas.

Voici les courbes :

Je pense qu'il y a un problème ici:

ilemaths a écrit:Le raisonnement de ilemaths :
L'équation de f(x) est y = 2 +1/(x + 1) ⇔ y - 2 =1/(x+1).
Prenons X = x + 1  et  Y = y - 2, ce qui donne Y=1/X.
On retrouve ici l'équation de H(x).

Pour passer de f(x) à H(x), on peut voir les translations suivantes :
On ajoute 1 à x,
On retranche 2 à Y.
On se retrouve donc avec l'égalité suivante :
f(x)=H(x+1)-2

On a bien: Y = y - 2.

Or, si on ajoute un à x et qu'on calcule Y à partir de H(x), il nous faut ensuite trouver y.
Y = y - 2 mais y = Y+2.
Donc il faut bien ajouter 2, et non pas retrancher 2.

On retrouve bien:
f(x)=H(x+1)+2

Je regarde la suite.

EDIT: Du coup le raisonnement pour la 3 tient la route: on a certes f(x)=H(x+1)+2 mais on a également les égalités :
En abscisse : X = x+1
En ordonnée : Y= y-2
D'où:

Donc si X=Y=0, on a x=-1 et y=2 qui sont les coordonnées du centre de symétrie Ω de la courbe Cf.

CQFD

Merci !

De rien

Du coup pour la 4) ça donne :

4) Retrouver le résultat précédent (au 3) en vérifiant que, pour tout réel h≠0, (f(-1-h)+f(-1+h))/2=2
(utiliser l'expression d'origine f(x))
Bien justifier la conclusion, en interprétant géométriquement ce calcul.

(f(-1-h)+f(-1+h))/2 = 2
(2(-1-h)+3)/(-1-h+1)+(2(-1+h)+3)/(-1+h+1) = 2 x 2
(2h-1)/(h)+(2h+1)/(h) = 4
(4h/h)-4 = 0
0 = 0, or h≠0

Si l'on reprend les dénominateurs, on a :
-1-h+1≠0
h≠0

Et

-1+h+1≠0
h≠0

On conclut qu'on doit prendre ∀ h ∈ R*

Mais que veut dire interpréter géométriquement le calcul ?

Détermine l'ensemble de validité avant de manipuler l'équation c'est plus correct.

Pour la conclusion je ne sais pas trop comment le justifier comme il faut.
Mais si on fait la moyenne de f(-1+h) et f(-1-h), on trouve 2 pour tout h réel non nul. (-1;2) est donc le centre de tout segment [(-1-h; f(-1-h)) ; (-1+h; f(-1+h))].
Ainsi le point de coordonnée (-1;2) est bien le centre de symétrie de la courbe (c'est une interprétation géométrique).

Alors là je dis bravo !   

Mais comment détermines-tu la "validité" ?

EDIT : Peux-tu mettre le détail de la moyenne, car on a pas vu comment faire...

La moyenne de A et B pour moi c'est tout simplement (A+B)/2.
Donc celle de f(-1-h) et f(-1+h) c'est (f(-1-h)+f(-1+h))/2 (soit ce qu'on te demande de calculer).

Pour l'ensemble de validité:
f(x) est définie sur R\{-1} (l'ensemble des réels privés de -1, je ne sais pas si tu connais cette notation)
_Si on pose x = -1-h:
x != -1
-1-h != -1
h != 0
_Si on pose x = -1+h:
x != -1
-1+h != -1
h != 0
Donc l'ensemble de validité c'est R*.
Je ne sais pas si c'est hyper rigoureux mais c'est comme ça qu'on m'a appris au lycée, ça montre que tu sais faire un changement de variable et que tu sais qu'il faut que tu vérifie quand tu peux écrire ce que tu mets.

Merci pour la moyenne, mais c'est le même raisonnement que j'ai mis pour la validité... ?

La je me sers de l'ensemble de définition de f, du coup je peux calculer l'ensemble de validité de l'équation avant de faire un quelconque remplacement (je n'ai pas besoin de chercher les dénominateurs).
Je peux donc le faire dès la première ligne, alors que tu dois le faire à partir de la deuxième.

Ok merci beaucoup pour ton aide.

De rien

Mince j'arrive trop tard.

Je pense que je n'aurais pas su justifier car pour moi c'est tantôt évident ou tantôt dans mes formulaires.
Translation de (A;B) implique g(x)=B+f(x-A)
La translation est une similitude et donc le centre d'une image est l'image du centre.
Une fonction admet un centre de symétrie (a;b) si f(a-x)+f(a+x)=2b quel que soit x.

C'est moi qui suit perturbé par le terme "ensemble de validité". J'ai toujours appelé ça "ensemble de définition".

Merci beaucoup M@thieu41, moi ça m'a remis quelques détails en place.

Mon prof de maths m'a dis de distinguer les ensemble de définition qui ne s'applique qu'aux fonctions, des ensembles sur lesquels on peut traiter des équations (soit l'intersection des 2 ensembles de définition), qui sont les ensembles de validité de l'équation.

m@thieu41 a écrit:si on fait la moyenne de f(-1+h) et f(-1-h), on trouve 2

Comment détermines-tu ce 2 ?

C'est ce qu'on te demande de calculer...
(f(-1-h)+f(-1+h))/2=2

Qu'appelles-tu moyenne alors, la formule f(a+h)-f(a)/h, correspond au taux de variation...

EDIT: C'est bon j'ai trouvé.